Durante esta semana Kenneth Arrow, el premio Nobel, ha fallecido. El fallecimiento entre los premios Nobel más jóvenes, a los 51 años, nos invita a la reflexión sobre el teorema de la imposibilidad.
Además de sus aportaciones en el análisis del equilibrio general de los mercados, conocida como la mano invisible, siendo una de sus mayores aportaciones en las ciencias sociales fue el conocido 'Teorema de la Imposibilidad'.
En este teorema demuestra de forma matemática que bajo ciertos supuestos no existe ningún mecanismo que sea infalible a la hora de tomar las preferencias de los individuos y entregar las preferencias sociales.
Nos podemos preguntar: ¿En qué se basa la teoría de la imposibilidad? ¿Qué es la teoría de la imposibilidad? ¿Qué conclusiones se desprenden de la teoría de la imposibilidad?
¿En qué se basa la teoría de la imposibilidad?
Supongamos que en una caja negra introducimos las preferencias personales de un grupo de personas, la caja los procesa y nos entrega las preferencias sociales. Según la teoría de Kenneth Arrow está caja nos podrá intentar dar todos los mecanismos (votación proporcional, Método de Condorcet, segunda vuelta...).
Sin embargo, con ninguno de estos mecanismos podríamos asegurar que las preferencias sociales cumplen con ciertos requisitos que parecen ser los mínimos desde una perspectiva lógica.
Para verlo más claro podemos poner el ejemplo, uno de los requisitos exigidos es que la caja nos diga que 'a' es socialmente preferido por 'b', no puede ser que todas las personas que introduzcan sus preferencias de forma individual prefieran 'b' sobre 'a'.
Otro los requisitos es cada uno de los individuos pueda tener las preferencias que quiera. Esto se puede considerar que es razonable.
Es decir, cualquier regla de votación que respete el factor de transitividad, el de la independencia de alternativas irrelevantes y el de unanimidad es una dictadura, en tanto en cuenta la decisión se plantee, al menos, respecto de tres alternativas.
Factores de a teoría de la imposibilidad
Definimos cada uno de los factores considerados por Arrow:
- Transitividad: si la alternativa 'A' es preferida a la alternativa 'B', y la alternativa B' es preferida a 'C', 'A' debe ser preferida a 'C'. Es decir:
donde el símbolo '>' significa estrictamente preferido a... - Unanimidad: el colectivo o sociedad prefiere 'A' a 'B' en la medida en que cada individuo prefiera 'A' a 'B'. - Independencia de alternativas irrelevantes: añadir o considerar nuevas alternativas a las ya existentes, es decir, 'A', 'B' y 'C', no debe variar la ordenación entre estas tres. - Dictadura: el individuo 'i' es un dictador si siempre éste prefiera, es decir, 'A' a 'B', la sociedad prefiere 'A' a 'B'.
Demostración de la teoría de la imposibilidad
La demostración constará de varios pasos:
- Identificador entre 6 votantes (V1, V2, V3, V4, V5 y V6).
- A uno de ellos como decisivo en el sentido de que su ordenación de preferencias (entre 5 alternativas, A, B,C, D y E) determina la ordenación de preferencias sociales.
- Se concluye que el resto de factores sólo se puede cumplir de forma simultánea en la medida en que exista un dictador.
Si todos los votantes sitúan a una alternativa en última o primera posición de su ordenación de preferencias, esa alternativa debe ser socialmente valorada en primera o última posición. Supongamos la siguiente ordenación de preferencias:
La alternativa 'B' se sitúa en la primera posición para los cuatro primeros votantes, y en la última para el resto. Esto implica, socialmente, también se sitúa en la primera o última posición de la ordenación.
Por ejemplo, A > B y B > C. De acuerdo con el factor de independencia de alternativas irrelevantes, este resultados debe ser independiente de si cambio la ordenación entre A y C, como nuestra el siguiente cuadro:
Sin embargo, por unanimidad, C > A, lo cual contradice la propiedad transitiva. Por tanto, se demuestra que no puede darse una situación en que A > B y B > C, es decir, una situación en que B no se sitúe en primer o en último lugar de la ordenación social de la preferencias.
Pero existe un votante pivote o decisivo, el votante 'i', en el sentido de que un cambio en su ordenación de preferencias da lugar a que la alternativa 'B' pase a ser de la más a menos preferido a la menos a más. Dado que ese hecho depende de cómo se valore la alternativa 'B', i = i (B)
Se supone que todos los votantes se sitúan en la alternativa 'B' en la última posición de la ordenación. Por unanimidad, esta alternativa sería lo menos preferida sobre el resto. Si sucesivamente todos van a pasar a priorizar ésta alternativa sobre el resto, la alternativa 'B' pasará a ser la más preferida. El cuadro anterior recoge la situación antes de que V4 cambie su ordenación de preferencias, según recoge este cuadro:
Donde V4 es decisivo pues su cambio de preferencia ha provocado que 'B' se sitúe en la primera posición de la ordenación.
Si este es el aspecto clave de la demostración se puede suponer que V4 es un dictador. A partir de aquí suponemos que para V4, A > B > C, es decir, B no es una opción extrema para el votante, como muestra el siguiente cuadro:
En esta situación, A > B, puesto que 'B' antes era la alternativa situada en última posición, y teniendo en cuenta el factor de independencia de alternativas irrelevantes, para todos los individuos se ha mantenido el que A es preferido a B.
También podemos considerar que B > C. 'B' era la alternativa preferida, nada ha cambiado para todos los individuos respecto de la comparación entre 'B' y 'C'. A partir de estos datos, y utilizando la propiedad transitiva, socialmente 'A' es preferida a 'C, siendo el elector que ha cambiado su ordenación de preferencias, mientras que todo el resto prefiere 'C' a 'A'.
Para ver si V4 es un dictador es necesario que su poder también se extienda a otras alternativas como 'A' Y 'B'. Para esto, supongamos que todos, excepto V4, sitúan la alternativa 'C' en la primera posición de su ordenación. Es decir, i = i(C), como nuestra el siguiente cuadro:
A partir de aquí, establecemos una ordenación en que aquellos votantes que prefieren 'B' a 'A' sitúen a 'B' en primer lugar, y al contrario. En la medida en que V4 prefiera 'A' a 'B', la ordenación social será tal que 'B' se sitúe en la última posición. Lo contrario pasará si V4 se sitúa en primer lugar a la alternativa 'B'.
Es decir, se confirma que V4 es un dictador, pues la ordenación social entre 'A' y 'B' depende de su ordenación entre 'A' y 'B', como se puede ver en el cuadro:
¿Qué conclusiones se desprenden de la teoría de la imposibilidad?
Kenneth Arrow demuestra que la única forma de cumplir con estos requisitos es tomando la preferencia de una persona como la preferencia social, es decir, una solución dictatorial. La primera reacción frente a este resultado podría ser el pesimista.
Es decir, no existe el bien común y la democracia está condenada a desilusionar a sus miembros. Sin embargo, desde una perspectiva más profunda permite obtener otras conclusiones:
La teoría de la imposibilidad busca la alineación de las perspectivas con lo que efectivamente es posible y, así, se protege el populismo. Por tanto, no existe salvadores ni salvados de la voluntad popular.
La democracia representativa surge como una opción razonable frente a la imposibilidad de que nos pongamos de acuerdo en cada una de las decisiones que una sociedad debe tomar.
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